根据您选择的方向（02/03），请作答以下问题，参考时间40分钟。
第一题
求极限。（无需阐明计算过程）
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} (\sin\frac{1}{n}+2\sin\frac{2}{n}+\cdots+n\sin\frac{n}{n})第二题
求值。（无需阐明计算过程）
\int^1_0 dy \int^1_{\sqrt{y}} \sqrt{x^3+1} \ dx第三题
计算二重积分
\iint_D xydσ \tag{1}其中区域 D 由曲线
r=1+cosθ\ (0\leqθ\leqπ) \tag{2}与极轴围成。（无需阐明计算过程）
第四题
设矩阵
\boldsymbol{A} =\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a\\ a+1 & 1 & a+1 \\ \end{bmatrix} 以及
\boldsymbol{\beta} =\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2a-2 \\ \end{bmatrix} 且方程组
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta} \tag{3}无解，求 a 的值，并求方程组
\boldsymbol{A} ^T \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A} ^T\boldsymbol{\beta} \tag{4}的通解。（无需阐明计算过程）