补充试题6

根据您选择的方向，请作答以下问题，参考时间40分钟。

第一题

求极限：（无需阐明计算过程）

\lim_{n \to \infty} x^2[\arctan{(x+1)}-\arctan{x}]

第二题

设函数

f(x) = 
    \begin{cases}
        \frac{1}{(x-1)^{\alpha-1}},&1 < x < e \\[2ex]
        \frac{1}{x \ln^{\alpha+1}{x}},&x ≥ e
    \end{cases} \tag{1}

若反常积分

\int^{+\infty}_{1}f(x)dx \tag{2}

收敛，求 a 的取值范围。（无需阐明计算过程）

第三题

计算二重积分

\iint_D \frac{x^2-xy-y^2}{x^2+y^2}\ dxdy \tag{3}

其中区域 D 由直线

y=1,\ y=x,\ y=-x

围成的有界区域。（无需阐明计算过程）

第四题

已知 a 是常数，且矩阵

\boldsymbol{A} =\begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0\\ 2 & 7 & -a \\ \end{bmatrix}

可经初等变换为矩阵

\boldsymbol{B} =\begin{bmatrix} 1&a&2 \\  0&1&1 \\ -1&1&1 \\ \end{bmatrix}

求 a 的值，并求满足

\boldsymbol{A}  \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}  \tag{4}

的可逆矩阵 P。（以 [X,X,X; X,X,X; X,X,X] 方式输入矩阵，无需阐明计算过程）

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